一个组合恒等式

$k> 0$ 。当 $k$为奇数时，
\begin{aligned}
\sum_{i = 0}^{k} \binom{n}{i} &= [\binom{n}{0} + \binom{n}{1} ] + [\binom{n}{2} + \binom{n}{3} ] + \dots + [\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} ] \ \sum_{i = 0}