定理1：连通多重图中存在欧拉回路当且仅当图中所有顶点的度数为偶数。
首先，我们来证明充分性，即存在欧拉回路则图中的所有顶点的度数必然为偶数。在图中任取一点，以该点作为起点，沿着欧拉回路走，当前顶点的出度为1，然后经过其它的顶点，注意到如果欧拉路径经过一个顶点（包括起点），它必然离开这个点，这样出入度之和为偶数，直到所有的边逐一被走过，回路的终点在起点处结束，使得起点的入度加1，这样经过起点的度数和变成偶数，欧拉回路结束（注意到我们未加说明的假设了边的个数是有穷的，因此这个过程必然结束）。首先，我们来证明充分性
